TEMA 24. PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA Y EN EL
ARTE. ASPECTOS ESTRUCTURALES. PANORÁMICA HISTÓRICA.
1 Introducción.
2 Presencia de la geometría en la naturaleza y en el Arte. Aspectos
estructurales.
3 La geometría en el arte. Panorámica histórica.
4 Conclusión.
5 Bibliografía.
1.- INTRODUCCIÓN.

La geometría es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas
de las figuras en el plano o en el espacio. Atendiendo a la etimología de la palabra, de
origen griego geo “tierra” y metrein “medir”, significa literalmente medición de la
tierra, una de sus primeras aplicaciones prácticas, aunque actualmente abarca muchas y
diversas funciones.
Ciencia desarrollada en la antigüedad, tuvo su florecimiento y desarrollo máximo en el
durante el Renacimiento Italiano. Dado que es una ciencia de las llamadas objetivas,
como lo puede ser la matemática, su influencia posterior ha sido enorme, ya que ha ido
evolucionando continuamente a lo largo de los tiempos basándose en los axiomas,
teorías y teoremas demostrados en cada una de las épocas.
Es una ciencia especialmente útil ya que está presente y es necesaria para la
construcción y creación de obras artísticas, arquitectónicas e ingenieriles. Entre sus
múltiples aplicaciones se encuentran las de cálculo espacial y volumétrico, cálculo de
estructuras y resistencia de materiales y localización de puntos en el espacio
bidimensional, tridimensional y proyectivo.
Sus elementos fundamentales son el punto, la recta, la curva, el plano, los polígonos, los
poliedros y las superficies. Estos elementos básicos del espacio poseen una gran carga
expresiva ya que representan lo simple, lo puro, lo perfecto, hacia lo que todo tiende.
En un principio de modo manual e intuitivo, se ha alcanzado un alto dominio de esta
disciplina, descubriendo múltiples propiedades y aplicaciones. Actualmente, con el
desarrollo tecnológico e informático, el dominio de los trazados se acerca mucho a la
perfección, pudiendo evaluar la efectividad de las distintas aplicaciones casi sin
ejecutarlas.

2.- PRESENCIA DE LA GEOMETRÍA EN LA NATURALEZA. ASPECTOS
ESTRUCTURALES.

La geometría está siempre presente en la naturaleza y se manifiesta a distintos niveles.
Este es un hecho que se puede apreciar a simple vista –el mismo Cezánne, a finales del
siglo XIX, en su intento de realizar una síntesis ideal de la representación naturalista,
opinaba que “todo objeto se puede reducir a figuras geométricas simples, cubos,
pirámides, conos…”– o bien, se pueden justificar y demostrar al analizar los conceptos
de equilibrio y eficiencia mecánica, dos aspectos estructurales básicos en ingeniería.
Por un lado la naturaleza tiende al equilibrio, ya que éste se define como el estado
mecánico en el cual la suma de todas las fuerzas que actúan a la vez en un cuerpo es
igual a cero. El desequilibrio no es estable, es imperfecto, y por tanto, en la naturaleza,
no perdura. Este equilibrio requiere de la geometría ya que lo alcanzan las figuras que
tienden a ser simétricas y puras.
Por otro lado la naturaleza necesita obtener eficiencia mecánica en sus construcciones,
ya que de no ser así, sus estructuras no serían estables y no perdurarían. Toda estructura
requiere de este concepto para su formación ya sea un esqueleto, las ramas de un árbol o
la formación de células.
Una de las formas geométricas presentes de forma evidente sería la esfera. Ésta es una
forma geométrica con grandes propiedades como por ejemplo, ser el área mínima
posible respecto de su volumen, aspecto muy ventajoso en cuanto al ahorro de espacio
en la conservación de materia, como puede ser el caso de una naranja o una sandía. Ésta
forma está presente especialmente en medios en los que la gravedad es mínima o tiende
a cero, como puede ser el espacio o el medio acuático. Así, las pompas de jabón, los
seres unicelulares, las burbujas de aire en el mar, algunos crustáceos, los planetas y las
estrellas son algunos ejemplos.
La forma cilíndrica se encuentra en abundantes ejemplos en el medio vegetal. Es el
caso de los troncos de los árboles, el tallo de las plantas o de las flores, algunas algas…
Otra de las formas muy comunes en la naturaleza es la hexagonal. Aparece de forma
abundante en aglomeraciones de unidades independientes y del mismo tamaño. Es el
caso de la espuma formada por pompas de jabón –en contacto unas con otras, en
sección, son hexagonales–, las células en los tejidos animales, la estructura formada por
los panales de abejas y el parénquima del maíz.
Es difícil hablar de geometría y naturaleza sin nombrar la proporción áurea. Fue
Vitrubio en el s I a.C. el descubridor de esta proporción presente en la naturaleza según
la cual la relación entre el segmento a y el b es la misma que entre el segmento a y el c.
El número o razón que los relaciona es el número irracional 1’618…, es en llamado

número dorado o número ;. Esta relación geométrica se repite sorprendentemente en
la naturaleza en el crecimiento de plantas y flores, frutas (distancia entre las espirales de
una piña), proporciones humanas (relación entre la distancia de la mano al codo y del
codo al hombro), animales (cantidad de abejas macho y hembras de un panal),
proporciones geométricas (relación entre el lado de un pentágono y su diagonal),
estelares (órbita de Venus)… Quizá sea esa la razón por la que nos resulta tan bella
dicha proporción: aparece tanto en nuestro mundo que nos debe resultar visualmente
familiar y armónico.
El hecho de aparecer repetida y misteriosamente en la naturaleza de modo tan
abundante le dio cierto aire enigmático y divino, (de ahí su nombre) como si alguien
(Dios?) hubiera incluido esa proporción en sus creaciones. Estéticamente, una división
tal nos resulta especialmente adecuada, y por ello, a partir del Renacimiento, se usó de
modo casi obsesivo, en detrimento de una división simétrica, pues los grandes maestros
consideraban que lo simétrico es estático, y una división desigual como la proporción
áurea dotaba a la obra de dinamismo y atractivo visual. Además, si Dios la había usado
para sus creaciones, cómo no iba el hombre a utilizarla?
En realidad, ninguna de las formas geométricas de la naturaleza está presente en toda su
pureza. Todas ellas son aproximaciones. Es el ser humano el que ha buscado un
paralelismo mediante la similitud de formas naturales y las formas geométricas puras
aprehendidas mediante la abstracción, pero que sin duda, y por su gran parecido, pueden
llegar a compararse.

3.- LA GEOMETRÍA EN EL ARTE. PANORÁMICA HISTÓRICA.

Desde el principio de los tiempos, los pueblos primitivos demostraron una noción
intuitiva de la geometría en cuanto a la medición de distancias terrestres, y en cuanto a
sus propias construcciones (la presencia del ángulo recto es muy abundante).
La civilización egipcia desarrolló grandes conocimientos de geometría demostrando su
uso práctico en muchas ocasiones, con una precisión asombrosa para los medios con los
que se contaban en la época. Formas geométricas como los rectángulos y los cuadrados,
cálculo de distancias, uso del número p, etc. fueron algunos de los aspectos de la
geometría que demostraron dominar sobradamente en sus construcciones.
Durante el esplendor de las civilizaciones griega y romana la geometría experimentó
uno de sus momentos álgidos, ya que se desarrolló una manera muy rápida y efectiva en
un corto período de tiempo. Grecia se ocupó de la evolución de la geometría teórica
gracias a varios sabios de la época. Pitágoras se ocupó de las propiedades de los
triángulos y los poliedros. Tales de Alejandría, filósofo de la escuela jónica, descubrió
las propiedades de los números que tienden a infinito y de los números decimales.

Arquímedes, otro filósofo de la misma escuela y gran inventor de objetos de ingeniería,
desarrolló el cálculo integral y Apolonio, otro de los destacables, se ocupó de las curvas
cónicas.
El último de los geómetras griegos que se va a destacar en este tema por méritos propios
es el matemático griego Euclides. Plasmó las ideas principales de sus teorías en una
obra titulada Los elementos. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente
de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas,
triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Uno de sus teoremas fue, por
ejemplo, que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º. La
geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX, lo
que es suficiente para valorar la influencia y vigencia que ha tenido esta teoría.
Capítulo aparte merece el arquitecto, inventor, escritor e ingeniero Marco Vitruvio, del
siglo I a. C. Estuvo a las órdenes del ejército romano y del propio Julio César. Fue un
gran tratadista. Su obra más importante De architectura una obra extensa en diez
volúmenes que recoge toda su sabiduría y avances obtenidos en el ejercicio de su
profesión. En ellos habla de geometría, de proporción, de arquitectura, de urbanismo, de
ingeniería, de hidráulica, de mecánica, y un largo etcétera que convierten a esta gran
obra en una de las más influyentes de la antigüedad. Será especialmente importante su
lectura y redescubrimiento en el Renacimiento.
Precisamente fue el movimiento artístico denominado Renacimiento, período de
grandes cambios políticos, económicos y sociales, la otra gran época de la geometría.
Precisamente fue este movimiento el que volvió la vista atrás, aprendió de los autores ya
citados de las civilizaciones griega y romana y partiendo de sus premisas y teorías, dio
otro gran impulso a esta ciencia. Las traducciones de los manuales y tratados, así como
su reproducción gracias a inventos como la imprenta de Gutemberg en el s. XV facilitó
la propagación y transmisión de conocimientos como nunca antes se había producido,
primero en Italia y posteriormente en toda Europa.
Fueron principalmente tres artistas y estudiosos renacentistas los que impulsaron la
ciencia que nos ocupa en este período. El primero de ellos fue el dibujante, escultor y
arquitecto Filippo Brunelleschi que desarrolló su trabajo durante el siglo XV.
Personaje destacado por sus investigaciones en torno a la perspectiva, aunque la utilizó
y se interesó por ella por sus aplicaciones a la arquitectura, consiguió un conocimiento y
profundización en esta disciplina tal, que la defendía como una independiente, no
supeditada a la arquitectura ni al arte. Desarrolló métodos efectivos de planimetría y
normalización que demostraron su efectividad en sus construcciones. Además, fue gran
conocedor de la perspectiva y la representatividad de objetos tridimensionales. Fue
consciente de su aplicación también al arte, al dibujo y a la pintura.
El segundo personaje de obligada cita fue el artista, grabador, pintor y escritor de origen
alemán Alberto Durero, algo posterior al anterior, vivió durante el siglo XV y XVI y
fue el artista más famoso del Renacimiento alemán. Se interesó y estudió a fondo las
teorías de Brunelleschi, especialmente en lo relativo a la perspectiva, proyecciones y
puntos de fuga. Fue un gran maestro de la geometría descriptiva y proyectiva. Además,
escribió tratados sobre la proporción humana basándose en aplicaciones sobre
geometría.
Por último, el tercer personaje fundamental de este movimiento en cuanto a la
geometría, y en realidad en torno a muchas otras y variadas disciplinas, fue el
arquitecto, escultor, pintor, inventor e ingeniero, Leonardo di Ser Piero da Vinci el
hombre del Renacimiento por excelencia. Está ampliamente considerado como uno de
los más grandes pintores de todos los tiempos y quizá, la persona con más y más
variados talentos de la historia.
Estudioso de la geometría y la perspectiva, se preocupó especialmente de sus
aplicaciones artísticas. Para Leonardo, la pintura era una disciplina a la altura o incluso
por encima de otras como la escultura o la arquitectura, y se ocupó de ella en primer
lugar, de ahí su excelencia en este campo. Defendió en sus tratados, que se debían
respetar tres efectos principales a la hora de captar la realidad en una imagen: la
disminución del tamaño aparente de los objetos con el aumento de la distancia del
objeto al espectador, la pérdida de los contornos y el color con dicho aumento, y por
último, la existencia de efectos como el traslapo (efecto producido por un objeto que se
superpone a otro) y el escorzo (efecto producido por un elemento o miembro que se
sitúa en dirección al punto de vista del espectador y que reduce su tamaño y aspecto
considerablemente).
En definitiva tuvo amplias aportaciones a la geometría teórica, en sus escritos y
tratados, y a la geometría práctica, en sus aplicaciones no sólo ya a la pintura, sino a la
arquitectura, ingeniería y mecánica.
Así, la Historia del Arte considera que este período alcanzó un dominio casi total de la
geometría en lo que a aplicaciones y representatividad concierne. Conocimientos que
eran rápidamente propagados por toda Europa gracias a la citada invención de la
imprenta, a la reciente creación de universidades y a otro gran invento de este momento
que facilitó los viajes y el comercio del viejo continente, la brújula.
Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en
la Edad Moderna. René Descartes, en el siglo XVII propone un nuevo método de
resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría. Se
trataba, simplificándolo mucho, de un sistema formado por un par de ejes de
coordenadas perpendiculares, un eje de ordenadas y otro de abscisas, y cuyos puntos
vienen dados por dos coordenadas positivas o negativas que los situaban precisamente
en el plano.
Avanzando un poco más en la Historia, la siguiente gran aportación a la geometría fue
el en siglo XVIII. Fue el francés Gaspard Monge, un profesor de física y matemáticas
de diversas universidades y escuelas francesas, quien publica en 1799 su obra

Geometrie descriptive. Estuvo al mando del propio Napoleón en varias empresas gracias
a su amplio conocimiento multidisciplinar. La geometría descriptiva, invención más
trascendente de Monge, es la que nos permite representar sobre una superficie
bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos mediante el sistema de
representación más importante que exista quizá aún en nuestros días, el llamando

Sistema diédrico.
Fue un discípulo de Monge, de la Escuela Politécnica de Metz, Jean-Victor Poncelet,
quien continuó desarrollando las teorías de su maestro, explorando sus posibilidades y
dándole nuevas aplicaciones. Se ocupó, además, de estudiar y profundizar en la

geometría proyectiva y empezó, gracias a ello, a investigar las propiedades que los
objetos tridimensionales comparten con sus propias sombras arrojadas. Dejó sus
investigaciones escritas en dos volúmenes que investigaba, además, las secciones
cónicas.
En el siglo XIX encontramos otra personalidad ineludible, por su aportación al mundo
de la geometría. Se trata del suizo Charles-Éduard Jaenneret, más conocido con el
sobrenombre de Le Corbusier, apellido de su abuelo materno. Arquitecto, urbanista,
teórico de la arquitectura, diseñador y pintor, nacionalizado francés, es considerado uno
de los padres de la arquitectura moderna y uno de los arquitectos que mayor influencia
han tenido en el siglo XX y en general, en toda la Historia de la arquitectura.
Sus ideas eran fruto de una reacción ante una sociedad eminentemente industrializada.
Se interesó por el diseño de viviendas unifamiliares, por lo estético pero a la vez
funcional, basado en las formas puras y los colores esenciales. Las formas geométricas
puras estaban, por tanto, bien presentes en su obra, especialmente el cubo y el ángulo
recto.
En 1926 Le Corbusier presenta un documento donde expone en forma sistemática sus
ideas arquitectónicas: los llamados «cinco puntos de una nueva arquitectura»

representan una importante innovación conceptual para la época, aprovechando las
nuevas tecnologías constructivas, derivadas especialmente del uso del hormigón
armado. Esta teoría, de gran contenido geométrico, produjo una influencia poderosa en
la arquitectura en general, incluido en la actual. Se basaba en un sistema de columnas o

pilotes distribuidos en forma geométrica regular que sustentaba la vivienda, de modo
que liberaba a la fachada de su función estructural pudiendo abrir grandes ventanales,
adelantarla o atrasarla e incluso suprimirla. Es lo que él llamó “fachada libre”.
No podemos abandonar el siglo XIX sin nombrar a Carl F. Gauss, matemático, físico y
astrónomo alemán. Su principal contribución a la Geometría es la creación de la

Geometría Diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el Análisis
Matemático y la Geometría había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente.
Estudia, de un modo novedoso, las superficies curvas y sus propiedades. Establece la
definición de geodésica (líneas pertenecientes a superficies curvas, como el ecuador
terrestre), y trata los elementos fundamentales en estas superficies, contradiciendo los
postulados de Euclides, dando lugar a una nueva concepción de Geometría, la
denominada, en honor a su descubridor la Geometría gaussiana.
El otro gran arquitecto, a caballo entre le siglo XIX y XX, fue el estadounidense Frank
Lloyd Wright. Conocedor de la obra de Le Corbusier, quien influyó fuertemente en su
obra, también se ocupó de manera especial en casas unifamiliares, aunque con un
sentido especial para integrarlas en su entorno. Las cubiertas sobresalen
considerablemente de las fachadas mediante bloques geométricos en forma de prismas y
cubos y las ventanas forman una secuencia continua horizontal.
Creó un nuevo concepto respecto a los espacios interiores de los edificios, que aplicó al
diseño de viviendas, pero también en sus demás obras. Wright rechaza el criterio
existente hasta entonces de los espacios interiores como estancias cerradas y aisladas de
las demás, y diseña espacios en los que cada habitación o sala se abre a las demás, con
lo que consigue una gran transparencia visual, una profusión de luz y una sensación de
amplitud y abertura. Para diferenciar una zona de la otra, recurre a divisiones de
material ligero o a techos de altura diferente, evitando los cerramientos sólidos
innecesarios.
Utiliza las formas curvas tanto para solucionar problemas arquitectónicos en el exterior
como en el interior. Pero no se trata de curvas sinuosas y ligeras, sino de auténticas
circunferencias y semicircunferencias, como en el caso de la fachada del Museo
Guggenheim de Nueva York, en la rampa que distribuye las alturas en ese mismo
edificio (una espiral perfecta), como en elementos estructurales (pilares en forma de
conos o arcos de circunferencia).
Quizá no encontremos en el siglo XX nuevas concepciones de la Geometría, ni nuevos
estudios teóricos revolucionarios. Sin embargo, éste fue un siglo de grandes
aplicaciones y asimilaciones. Las vanguardias artísticas tuvieron en más de una ocasión
como protagonista a la Geometría. El mismo Paul Cezanne, postimpresionista francés,
en su esfuerzo por comprender y reflejar la complejidad de la percepción visual humana
e interesado en la simplificación de las formas recurriendo naturalmente a su esencia
geométrica declaró que “Todo en la naturaleza se modela según la esfera, el cono, el
cilindro. Hay que aprender a pintar sobre la base de estas figuras simples; después se
podrá hacer todo lo que se quiera.”
Esta frase precisamente ejerció gran influencia sobre el Cubismo, pues en su inicio,
trataba de simplificar la naturaleza a sus elementos geométricos fundamentales. Otras
vanguardias como el Suprematismo la trataron de modo más directo, pues evitaba
explícitamente las formas naturales para basarse en las geométricas puras.
También el Constructivismo, movimiento de origen ruso y el Neo-plasticismo, de
origen holandés al que perteneció Piet Mondrian, recurrieron a la geometría de este
modo directo, especialmente en el uso de paralelogramos, prismas, rectas y puntos y en
su traducción al color, es decir, con colores puros.
En el campo de la arquitectura de este siglo, y atendiendo especialmente a aspectos
geométricos y estructurales, es necesario nombrar al arquitecto español Santiago
Calatrava, autor de la Ciudad de las Ciencias de Valencia. Su trabajo se basa en
aspectos estructurales presentes en la naturaleza, y que han demostrado ser eficientes y
funcionales en ella. Aprende de esas soluciones que la naturaleza ha dado por azar, y
que han permanecido en el tiempo, precisamente por ser eficientes, y las transforma
aplicándolas a problemas arquitectónicos modernos. Esa es la razón principal por la que
el aspecto de sus construcciones recuerde en ocasiones a formas naturales, ramas,
esqueletos, raíces…

4.- CONCLUSIÓN.

La geometría es una de las cualidades propias tanto de la naturaleza como del mundo de
Arte por distintas razones, o quizá por la misma. La naturaleza, y el hecho de que estas
soluciones geométricas hayan perdurado a lo largo de la historia y de la evolución, ha
demostrado que es una de las ciencias más eficientes en cuanto a lo estructural y a lo
funcional. En el mundo del Diseño Industrial, por ejemplo, se considera que una
naranja, la fruta, es el embase de líquido más perfecto del mundo: no tiene coste
económico, ya que lo produce la naturaleza, es de forma esférica, lo que le permite
albergar el máximo jugo por el espacio que ocupa, contiene dos capas exteriores de un
material que amortigua el golpe en caso de caer del árbol y que no se rompa el envase,
en su interior, está distribuido por gajos, los mayores con forma de un octavo de
circunferencia (lo que produce un octógono perfecto en su corte transversal), y éstos a
su vez en mini gajos en forma de prisma piramidal que son los que contiene realmente
el jugo de la fruta. La geometría está presente en la naturaleza, y la hace más perfecta.
La presencia de la geometría en el Arte, en el sentido amplio de la palabra, con todas
sus manifestaciones es quizá algo distinta pero con la misma consecuencia. Su presencia
es más pura, más geométricamente perfecta, si se permite la expresión, y esto ha
provocado construcciones sabias a lo largo de la historia, construcciones que han
sustentado cada vez más peso con cada vez menos material (como fue el paso del
Románico al Gótico), obras más expresivas en su campo y nuevas visiones nunca antes
vistas en el mundo de la pintura.
Es, por tanto, una característica muy valiosa a nivel estético y a nivel funcional, que ha
aportado soluciones ingeniosas y eficientes, que de cualquier otra manera habría
supuesto un problema eminentemente estructural difícil de solucionar. El ser humano ha
sabido aprender de las soluciones naturales, a conseguido apreciarlas, estudiarlas y
dominarlas, con el objetivo fundamental de aprovechar las propiedades geométricas
para sus creaciones, ya sea el diseño de una vivienda, de un perchero o de una tarjeta de
visita.

5.- BIBLIOGRAFÍA.

Geometría, AAVV, Pirámide ed. 1983.

Fórmulas y propiedades geométricas, Izquierdo Asensi, F, Izquierdo Asensi ed. 2005

Geometría para la Arquitectura, AAVV, UPV ed. 2000

Geometría moderna, AAVV, Addison ed. 1999

La geometría fractal de la naturaleza, Mandelbrot, Benoit, Tusquets ed. 1997
Artículos varios, Wikipedia enciclopedia virtual.